ஈருறுப்புத் தேற்றம்

ஈருறுப்புத் தேற்றம் (Binomial Theorem)

இரு சக்கர வாகனம், இரு கண் நோக்கி, இரண்டடிமானம் என்பவற்றைப் போன்று இரண்டு உறுப்புகளைக் கொண்ட கோவைகள் ஈருறுப்புக் கோவை எனப்படும். எடுத்துக்காட்டாக, (1 + x), (x + y), (x2 + xy) மற்றும் (2a + 3b) என்பன ஈருறுப்புக் கோவைகளுக்கு சில எடுத்துக்காட்டுகளாகும்.

1. ஈருறுப்புக் கெழுக்கள் (Binomial Coefficients)

பாடப்பகுதி 4-இல், nCr என்ற குறியீடும் அதன் பயன்பாடும் பற்றி கற்றுள்ளோம் மேலும் அதன் வரையறை என்பது பற்றியும் நாம் அறிந்துள்ளோம். nCr என்பது, (1 + x)n இல் xr -ன் கெழுவாகவும் மற்றும் (a + b)n இல் arbn-r -ன் கெழுவாகவும் இருப்பதால், இவை ஈருறுப்புக் கெழுக்கள் (Binomial Coefficients) எனப்படும். nCr -ன் மதிப்புகளை சூத்திரங்களை பயன்படுத்திக் காண இயலும் என்றாலும் அதைவிட எளிமையான முறையிலும் காணலாம்.

பாஸ்கல் முக்கோணம்

பாஸ்கல் முக்கோணம் என்பது nCr -ன் மதிப்புகளை முக்கோண வடிவில் எழுதுதல் ஆகும். இங்கு (k + 1) ஆவது வரிசையானது kC0, kC1, kC2, kC3,....,kCk ஆகிய மதிப்புகளை உறுப்புகளாகப் பெற்றிருக்கும்.

(a + b)0, (a + b)1, (a + b)2, (a + b)3 என்ற முற்றொருமைகளை நினைவுபடுத்தி அவற்றின் உறுப்புகளின் கெழுக்களை கவனிப்போம். அந்தக் கெழுக்களின் அமைப்பில் ஒரு அமைப்பு முறை உள்ளதைக் காணலாம்.

பாஸ்கலின் முக்கோணத்தை உற்று நோக்கும்போது, ஒவ்வொரு வரிசையின் ஆரம்பமும், முடிவும் 1 ஆகவும் மற்றவை முன் வரிசையில் அதற்கு மேல் உள்ள இரு உறுப்புகளை கூட்ட கிடைப்பதாகவும் உள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, '3' என்பது அதற்கு முன் வரிசையில் உள்ள 1 மற்றும் 2-ன் கூடுதல் ஆகும். 10 என்பது அதற்குமுன் வரிசையில் 10-க்கு நேர்மேலே உள்ள இரு எண்கள் 4 மற்றம் 6-ன் கூடுதலாகும்.

என்பது (a + b)n - ன் ஈருறுப்பு விரிவாகும். இதனை பின்னர் நிரூபிப்போம் n-ன் அனைத்து மதிப்புக்களுக்கும், (a + b)n -ன் ஈருறுப்பு விரிவை பாஸ்கலின் முக்கோணத்தைப் பயன்படுத்தி எழுதலாம். எடுத்துக்காட்டாக, பாஸ்கல் முக்கோணத்தின் ஐந்தாவது வரிசையை பயன்படுத்தி (a + b)4 -ன் விரிவையும், ஆறாவது வரிசையைப் பயன்படுத்தி (a + b)5 -ன் விரிவையும் எழுதலாம். 

(a + b)5 -ன் விரிவில், கெழுக்கள் இல்லாமல் உறுப்புகள்

a5, a4b, a3b2, a2b3, ab4, b5

என்ற வடிவில் அமையும் பாஸ்கல் முக்கோணத்தின் 6 ஆவது வரிசை,

1 5 10 10 5 1 என்பதாகும். 

இவை இரண்டையும் பயன்படுத்தி,

(a + b)5 = a5, 5a4b, 10a3b2, 10a2b3 + 5ab4 + b5 என எழுதலாம்.

பெருக்கல், வகுத்தல் இல்லாமல் கூட்டலை மட்டுமே பயன்படுத்தி பாஸ்கல் முக்கோணம் உருவாக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே, (a + b)n, n ∈ ℕ என்ற ஈருறுப்பு விரிவினை எந்த வித பெருக்கலும் இல்லாமல் எழுத இயலும்.

மேற்கண்ட முக்கோண வடிவம், 17ஆம் நூற்றாண்டைச் சேர்ந்த பிரஞ்ச் கணித மேதை பிளய்சு பாஸ்கலின் கண்டுபிடிப்பாகும். இவர், இந்த அமைப்பின் கணித பண்புகளை கண்டறிந்து சரியான முறையில் நிகழ்தகவியலில் பயன்படுத்தியவர்.

2. மிகை முழு எண் அடுக்குக்கான ஈருறுப்புத் தேற்றம்
(Binomial Theorem for Positive Integral Index)

இப்போது, மிகவும் புகழ் வாய்ந்த தேற்றங்களில் ஒன்றான ஈருறுப்புத் தேற்றத்தினைக் காண்போம்.

தேற்றம் 5.1 மிகை முழு எண் அடுக்குக்கான ஈருறுப்புத் தேற்றம்

(Binomial Theorem for Positive Integral Index)

ஏதேனும் ஒரு இயல் எண் n-க்கு,

ஆகும்.

நிரூபணம் கணிதத் தொகுத்தறிதல் மூலம் இந்தத் தேற்றத்தை நிரூபிக்கலாம். ஏதேனும் ஒரு மிகை முழு எண் n-க்கு, P(n) என்பது மற்றும் 1C1 = 1, எனவே, P(1)-ன் வலப்பக்கம் a1 b0 + a0 b1 ஆகும். இது இடப்பக்கம் உள்ள (a + b)1 -க்குச் சமம். இதனால் P(1) மெய் ஆகும். ஏதேனும் ஒரு மிகை முழு எண் k-க்கு P(k) மெய் எனக் கொள்வோம். அதாவது, 

எனவே, P(k) மெய் எனில் P(k+1) மெய் ஆகும். இதனால் கணித தொகுத்தறிதல் மூலம் எல்லா இயல் எண் n-க்கும் P(n) மெய் என நிரூபணமாகிறது.

எனவே,

குறிப்பு:

(i) (a + b)n, n ∈ ℕ என்பதன் விரிவாக்கத்தினை,

எனவும் எழுதலாம். 

(ii) n ஓர் இயல் எண் எனில், (a + b)n என்ற ஈருறுப்பு விரிவில் (n + 1) உறுப்புகள் இருக்கும்.

(iii) இல் ஒவ்வொரு உறுப்பிலும் a-ன் அடுக்கானது ஒன்று குறைகிறது. ஒவ்வொரு உறுப்பிலும் b-ன் அடுக்கானது ஒன்று அதிகரிக்கிறது. இருந்தபோதிலும், ஒவ்வொரு உறுப்பிலும், a மற்றும் b -ன் அடுக்குகளின் கூடுதல் எப்பொழுதும் n ஆக இருக்கிறது. 

(iv) n ஒரு இயல் எண் எனில், (a + b)n என்பதன் விரிவில் (r +1) ஆவது உறுப்பு ஆகும். 

(v) (a + b)(a + b)...(a + b), என்ற n காரணிகளின் பெருக்குத் தொகையில் br ஐப் பெற, இந்த n காரணிகளில் r காரணிகள் தேவை. இவற்றை nCr வழிகளில் நாம் பெறலாம். அதனால்தான், nCr என்பது an-rbr -ன் கெழுவாக நமக்குக் கிடைக்கிறது. 

(vi) (a + b)n, n ∈ ℕ என்பதன் விரிவில் தொடக்கம் மற்றும் முடிவிலிருந்து சமதொலைவில் உள்ள கெழுக்கள் சமம். ஏனெனில், nCr = nCn-r 

(vii) (a + b)n, n ∈ ℕ என்பதன் விரிவில் n ஒரு இரட்டைப்படை எண் எனில், கெழுவின் அதிகபட்ச மதிப்பு, ஆகும். n ஒரு ஒற்றைப்படை எண் எனில், கெழுவின் அதிகபட்ச மதிப்பு ஆக இருக்கும்.

(viii) (a + b)n, n ∈ ℕ என்பதன் விரிவில் n ஒரு இரட்டைப்படை எண் எனில், மைய உறுப்பு ஆகும். n ஒற்றைப்படை எண் எனில், என்பன இரு மைய உறுப்புகள் ஆகும்.